Zeit für die Wannabe-Nerd-Formel:
\[ E = m \cdot c^2 \]
Und jetzt mal etwas spannenderes:
\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi + V \psi,\qquad \text{Schrödinger Equation} \]Umlaute mag der wohl nicht ^^
Definition von Streuamplitude, Struktur- und Atomformfaktor:
\[ \begin{aligned} F &= N_{\text{Zellen}}\cdot S_{\vec{G}}\, ,\qquad \text{Streuamplitude für Reflexe}\\ S_{\vec{G}} &= \sum_j f_j e^{-i\vec{G}\vec{r}_j}\, ,\qquad \text{Strukturfaktor}\\ f_j &= \int \text{d}V n_j\left(\vec{r} - \vec{r}_j\right) e^{-i\vec{G}\left(\vec{r} - \vec{r}_j\right)}\, ,\qquad \text{Atomformfaktor} \end{aligned} \]
Berechnung des Strukturfaktors für die Diamantstruktur:
\[ \begin{array}{l l l l} \vec{r}_0 = \left(0,0,0\right) & \quad \vec{r}_1 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) & \quad \vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) & \quad \vec{r}_3 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\\[0.5em] \vec{r}_4 = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) & \quad \vec{r}_5 = \left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right) & \quad \vec{r}_6 = \left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right) & \quad \vec{r}_7 = \left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right) \end{array} \] \[ \begin{aligned} S_{\vec{G}} &= f \left(1 + e^{i\pi(h + k)} + e^{i\pi(h + l)} + e^{i\pi(k + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(h + k + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(h + 3(k + l))} + e^{i\frac{\pi}{2}(3(h + k) + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(k + 3(h + l))}\right) = 0\\ \implies S_{\vec{G}} &\neq 0,\text{ wenn } \begin{cases} h, k, l \text{ gerade und } h+k+l = 4n; n \in \mathbb{N}_0\\ h, k, l \text{ ungerade und } \neq 0 \end{cases}\end{aligned} \]
(Die Rechnung ist übrigens aus einer Auswertung zu einem Versuch aus der Festkörperphysik, falls das jemanden interessieren sollte
)
Alles in allem kann man aber schon 'ne Menge damit machen, herzlichen Dank @JR Cologne 💗
\[ E = m \cdot c^2 \]
Und jetzt mal etwas spannenderes:
\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi + V \psi,\qquad \text{Schrödinger Equation} \]Umlaute mag der wohl nicht ^^
Definition von Streuamplitude, Struktur- und Atomformfaktor:
\[ \begin{aligned} F &= N_{\text{Zellen}}\cdot S_{\vec{G}}\, ,\qquad \text{Streuamplitude für Reflexe}\\ S_{\vec{G}} &= \sum_j f_j e^{-i\vec{G}\vec{r}_j}\, ,\qquad \text{Strukturfaktor}\\ f_j &= \int \text{d}V n_j\left(\vec{r} - \vec{r}_j\right) e^{-i\vec{G}\left(\vec{r} - \vec{r}_j\right)}\, ,\qquad \text{Atomformfaktor} \end{aligned} \]
Berechnung des Strukturfaktors für die Diamantstruktur:
\[ \begin{array}{l l l l} \vec{r}_0 = \left(0,0,0\right) & \quad \vec{r}_1 = \left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) & \quad \vec{r}_2 = \left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right) & \quad \vec{r}_3 = \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\\[0.5em] \vec{r}_4 = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right) & \quad \vec{r}_5 = \left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right) & \quad \vec{r}_6 = \left(\frac{3}{4},\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right) & \quad \vec{r}_7 = \left(\frac{3}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right) \end{array} \] \[ \begin{aligned} S_{\vec{G}} &= f \left(1 + e^{i\pi(h + k)} + e^{i\pi(h + l)} + e^{i\pi(k + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(h + k + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(h + 3(k + l))} + e^{i\frac{\pi}{2}(3(h + k) + l)} + e^{i\frac{\pi}{2}(k + 3(h + l))}\right) = 0\\ \implies S_{\vec{G}} &\neq 0,\text{ wenn } \begin{cases} h, k, l \text{ gerade und } h+k+l = 4n; n \in \mathbb{N}_0\\ h, k, l \text{ ungerade und } \neq 0 \end{cases}\end{aligned} \]
(Die Rechnung ist übrigens aus einer Auswertung zu einem Versuch aus der Festkörperphysik, falls das jemanden interessieren sollte
)Alles in allem kann man aber schon 'ne Menge damit machen, herzlichen Dank @JR Cologne 💗
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