Wie schon geschildert wurde, sind Media Queries eins der zentralen Mittel.
Ich würde dabei allerdings nicht aus den Augen verlieren, dass deine gesamte Seite (HTML, CSS, JS und ggf. serverseitig PHP oder was auch immer du einsetzt, habe es mir nicht näher angeschaut) vermutlich stark veraltet ist und sich manche Dinge dementsprechend nicht einfach so anpassen lassen werden, weil früher z.B. Webseiten fest für eine bestimmte Bildschirmgröße entwickelt wurden und daher z.B. alles mit hardgecodeten Pixelwerten umgesetzt sein könnte.
Das ließe sich allein mit Media Queries schwer beheben/umgehen.
Tendenziell würde ich also empfehlen, die Website nahezu von Grund auf neu aufzusetzen und von Anfang an responsive zu entwickeln, wenn du bereit bist, etwas mehr Zeit darein zu investieren und vielleicht auch selbst Lust auf einen neuen, moderneren Anstrich hast.
Ansonsten könnte das in einem ziemlich schwierigem Spagat ausarten, wenn du versuchst, die alten Sachen möglichst unangetastet zu lassen, aber für mobile Endgeräte anzupassen und auf der anderen Seite eine ordentliche responsive Website hinzubekommen.
Eine komplett separate Website für Mobilgeräte zu entwickeln, ist zwar eine Option, aber letztendlich sorgt das meist für ein Missverhältnis zwischen Desktop und Mobilansicht, was die User Experience betrifft.
Ich kenne kaum eine Mobilansicht, wenn sie nicht responsive ist, die wirklich gut funktioniert.
Und wenn die mobile Ansicht ordentlich responsive aufgezogen wird, dann kann man es eigentlich schon gleich richtig machen und dann auch noch die paar Anpassungen für Desktop vornehmen, sodass es am Ende eine einheitliche Sache ist.
Zudem muss man einfach sagen, dass man es mit modernem CSS wesentlich leichter hat, eine Website zu gestalten, die sich dynamisch ohne tausende Media Queries und kleine Anpassungen schön an beliebige Geräte(-größen) anpasst.
In deinem bisherigen Layout wirst du ohne eine grundsätzliche Überarbeitung wahrscheinlich wenige moderne Techniken anwenden können, ohne das bisherige Layout kaputt zu machen.
Aber das ist nur meine Vermutung. Müsste man sich halt näher anschauen. Letztendlich kannst du es natürlich versuchen, eine stückweise Anpassung vorzunehmen bzw. erstmal die gröbsten Probleme zu beseitigen.